時(shí)間：2023-10-07 15:45:05
序論：在您撰寫微分方程在化學(xué)中的應(yīng)用時(shí)，參考他人的優(yōu)秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，引導(dǎo)您走向新的創(chuàng)作高度。
關(guān)鍵詞：實(shí)踐環(huán)節(jié)；案例專題化；教學(xué)法
中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）40-0050-02
一、引言
《常微分方程》是高等院校數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門應(yīng)用性較強(qiáng)的基礎(chǔ)課，但因其公式推導(dǎo)繁多，計(jì)算量偏大、理論性問題多，很容易讓學(xué)生感覺枯燥、疲勞。隨著現(xiàn)代教學(xué)方法的發(fā)展，特別是計(jì)算機(jī)多媒體等教學(xué)工具的引入，使得這門應(yīng)用數(shù)學(xué)中最古老，但一直充滿活力的學(xué)科的教學(xué)方法更加豐富，在教學(xué)效果上有了質(zhì)的提高。現(xiàn)在國內(nèi)外許多高校在開設(shè)這門理論課的同時(shí)，都相應(yīng)地配套一個(gè)實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)，或稱為《微分方程課程設(shè)計(jì)》、《微分方程數(shù)值解》等。通過專門編訂教學(xué)指導(dǎo)書或教學(xué)計(jì)劃，結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)軟件（如MATLAB、Mathematic或Maple），將理論課中相應(yīng)內(nèi)容通過圖像直觀展示，加深對問題的理解，同時(shí)拓寬應(yīng)用知識的學(xué)習(xí)，如問題求解的編程實(shí)現(xiàn)、數(shù)值算法的精度分析等。理論教學(xué)可以訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力、計(jì)算推導(dǎo)和定性分析能力，實(shí)踐環(huán)節(jié)能夠幫助學(xué)生直觀分析理解問題、提高學(xué)生計(jì)算機(jī)操作能力、增強(qiáng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際解決問題的能力。在實(shí)際教學(xué)過程中，這種理論與實(shí)踐相結(jié)合的教學(xué)，的確取得了很好的教學(xué)效果，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高了學(xué)生的認(rèn)知能力和動手能力。
通過幾年的教學(xué)總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)實(shí)踐環(huán)節(jié)教學(xué)的方式方法還存在許多可以提升的空間。比如，在《微分方程課程設(shè)計(jì)》的指導(dǎo)書中，算法的分析、結(jié)果顯示主要針對一些普通微分方程例子，而那些生活中的實(shí)際問題所占比例并不多，不能很好地體現(xiàn)《常微分方程》“應(yīng)用性較強(qiáng)”的課程性質(zhì)，同時(shí)也難以在培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和處理問題的能力上收到更好的教學(xué)效果。于是，我們通過收集大量應(yīng)用案例問題，將其整理、歸類并分散到各個(gè)實(shí)踐小環(huán)節(jié)中去，讓學(xué)生先“讀問題”，然后“找方法”，再到“做問題”，最后“解決問題”。這也就是我們的“案例專題化”教學(xué)法的基本應(yīng)用過程的簡單概括。
二、實(shí)施前期準(zhǔn)備
1.更新觀念，集思廣益，優(yōu)化大綱。在實(shí)踐課中，老師已不再是高高在上的“師者”，不再僅僅是“傳道、授業(yè)、解惑”，我們要讓學(xué)生變“俯首聽命”為“操刀上陣”！上世紀(jì)70～80年代，英國學(xué)者勞倫斯首倡“教師作為研究者”的理論。他提倡教師在教學(xué)上采用探究的方法，而不是采用講授、指導(dǎo)的方法，教師應(yīng)以學(xué)習(xí)者和研究者的身份出現(xiàn)，而不是以經(jīng)驗(yàn)和技術(shù)型專家的身份出現(xiàn)。隨著教育改革的深入，這樣的觀點(diǎn)受到越來越多人的認(rèn)可。為了讓學(xué)生更好地在實(shí)踐環(huán)節(jié)中“學(xué)以致用”，老師必須在實(shí)踐環(huán)節(jié)中做“顧問參謀”，師生協(xié)調(diào)共同參與“案例專題”的分析處理。我們咨詢了許多有多年講授經(jīng)驗(yàn)的同事，并對國內(nèi)外多種教材進(jìn)行了分析，比如美國經(jīng)典教材，就采用先給出應(yīng)用案例再進(jìn)行理論分析的模式，國內(nèi)王高雄老師等編的《常微分方程》第三版教材[1]的緒論以及各章中都引入了大量實(shí)例，同時(shí)增補(bǔ)了數(shù)值計(jì)算章節(jié)。因此，我們對實(shí)踐環(huán)節(jié)的教學(xué)大綱進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，將算法的講解部分壓縮，留出足夠時(shí)間讓學(xué)生來“講問題，做問題”。
2.資料收集，整合歸類，合理分布。比如，通過對同步教材中的例子的整理，其中物體冷卻過程的數(shù)學(xué)建模問題，因其構(gòu)建的方程是比較簡單的一階方程，我們將其作為實(shí)踐課程的第一個(gè)基本案例，并設(shè)定要求用至少兩類基本Euler法求解，并用圖像來展示，分析其結(jié)果的差異，并給出合理的解釋。又比如，大綱中微分方程組的數(shù)值處理部分，我們選取生物學(xué)中的兩物種捕食模型和三物種食物鏈模型的案例來組織。在講解Runge-Kutta方法時(shí)，預(yù)設(shè)“剛性問題求解”的案例，以兩類高階方程為例，對比選擇一個(gè)非剛性方程問題（如：數(shù)學(xué)擺）和一個(gè)剛性方程問題（如：Van-del-Pol方程）。這是前期教學(xué)準(zhǔn)備工作的關(guān)鍵，大量收集并對案例進(jìn)行分類整理，歸類劃分，建立充實(shí)的案例專題庫，并能實(shí)時(shí)更新補(bǔ)充。
3.動態(tài)調(diào)控，精選方案，優(yōu)化過程。前蘇聯(lián)大教育家巴班斯基，提出教學(xué)過程最優(yōu)化的理論[2]，他把教學(xué)過程最優(yōu)化理解為：教師有目的地選定一種建立教學(xué)過程的最佳方案，保證在規(guī)定時(shí)間內(nèi)解決教養(yǎng)和教育學(xué)生的任務(wù)，并取得盡可能最大的效果。他特別強(qiáng)調(diào)了五個(gè)不可或缺的最優(yōu)化因素中的關(guān)鍵是選擇最佳方案，其本質(zhì)是獲取最優(yōu)效果。我們在實(shí)踐教學(xué)過程中，充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，還會根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際情況，及時(shí)調(diào)控案例任務(wù)，在案例專題庫中選調(diào)更優(yōu)案例，優(yōu)化實(shí)踐環(huán)節(jié)的教學(xué)過程。
三、實(shí)際操作
實(shí)踐環(huán)節(jié)的課程設(shè)計(jì)與《常微分方程》同步進(jìn)行，授課對象是大二的本科生，已經(jīng)修過《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》[3]或類似課程，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中具備了基本的算法分析能力和動手編程能力[4]。因此，實(shí)踐環(huán)節(jié)中，根據(jù)大綱章節(jié)順序有層次、由淺入深地布置案例題，讓學(xué)生按照“讀問題—找方法—做問題—解決問題”的步驟進(jìn)行學(xué)習(xí)和自我學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在對案例專題的探討過程中，學(xué)會基本數(shù)值算法，思考、分析問題，然后去求解問題。
1.讀問題。每一個(gè)案例，它首先是一個(gè)應(yīng)用題，要求學(xué)生讀懂它，讓他們自己去回答“問題是什么，做什么，要求怎么做”，以分組或個(gè)人的形式去分析案例，并按照案例中的問題和要求去思考，使學(xué)生主動咨詢和收集相關(guān)資料，為下一步工作做好準(zhǔn)備。
2.找方法?！肮び破涫?，必先利其器”，讓學(xué)生對案例中引出的數(shù)值處理方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，然后用來處理案例。案例中提出需要用到的方法，正是大綱中要求的相應(yīng)數(shù)值方法的學(xué)習(xí)內(nèi)容。比如，在“用后退Euler法來分析Logistic模型初值問題”中，要求學(xué)生首先主動學(xué)習(xí)Euler法，然后有目的去分析對比幾類Euler法，理解并采納具有絕對穩(wěn)定性的后退Euler法來解決問題。又比如，“一類化學(xué)方程的剛性問題的Runge-Kutta方法處理策略”中，自然要對Runge-Kutta方法了解深入透徹。
3.做問題?！凹埳系脕斫K覺淺，絕知此事要躬行”，學(xué)生學(xué)會方法之后，重點(diǎn)就是針對問題去認(rèn)認(rèn)真真地做，這也是我們實(shí)踐課的重要目標(biāo)之一。在做的過程中，嚴(yán)格執(zhí)行學(xué)生自己完成任務(wù)的要求，可以適當(dāng)放寬時(shí)限。另外，可以讓學(xué)生課堂上匯報(bào)自己的進(jìn)程、結(jié)果，這也起到督促作用，同時(shí)還能激勵(lì)他們主動學(xué)習(xí)。
4.解決問題。這是案例專題的最后一環(huán)，不可忽視它的重要作用。一方面，問題的解決需要進(jìn)行上機(jī)檢驗(yàn)，可以用現(xiàn)場操作、實(shí)驗(yàn)報(bào)告等方式展示結(jié)果，也便于老師評價(jià)打分；另一方面，解決問題后的反思總結(jié)不可或缺，可以讓學(xué)生對所學(xué)知識有個(gè)很及時(shí)的“反芻消化”過程。
四、結(jié)束語
堅(jiān)持以人為本，加強(qiáng)培養(yǎng)創(chuàng)新意識，運(yùn)用多種方式著力培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，一直是《常微分方程》的實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)的教學(xué)改革目標(biāo)?！鞍咐龑ｎ}化”的教學(xué)方法，由“案例引方法”再“用方法做案例”，以學(xué)生為主體，教師做“顧問”，在實(shí)踐環(huán)節(jié)的具體教學(xué)過程中，有效地激發(fā)了學(xué)生去快樂學(xué)習(xí)、主動學(xué)習(xí)和創(chuàng)新性學(xué)習(xí)。
參考文獻(xiàn)：
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（鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 451150）
摘 要：微分方程的研究對于數(shù)學(xué)、物理等各方面的研究都具有重要意義.微分方程的應(yīng)用在我們?nèi)粘Ｉ钪谐３嬖?，其?yīng)用范圍具有相關(guān)的廣泛性.通過對微分方程的研究可以使我們更好的了解生活中的動態(tài)變量問題，從而使我們能夠?qū)崿F(xiàn)動態(tài)角度的分析，將生活研究更加真實(shí)化準(zhǔn)確化.一類微分方程是微分方程中形式較為簡單的方程結(jié)構(gòu)，對一類微分方程的解及解的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，對我們學(xué)習(xí)微分方程具有重要作用.本文通過對一類微分方程的求解和一類微分方程解的導(dǎo)數(shù)的角度，探討一類微分方程的解及其解的導(dǎo)數(shù)與不動點(diǎn)的關(guān)系，從而幫助我們更好地進(jìn)行微分方程的學(xué)習(xí).
關(guān)鍵詞 ：一類微分方程；方程解；解的導(dǎo)數(shù)；不動點(diǎn)
中圖分類號：O175.8 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-260X（2015）05-0001-03
微分方程作為數(shù)學(xué)學(xué)科的分支，在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用十分廣泛.微分方程知識在物理學(xué)中的許多變量問題的求解中均有涉及，在化學(xué)中的動態(tài)變化中也有運(yùn)用.此外，微分方程還廣泛地應(yīng)用于工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多方面.一類微分方程是形式相對簡單的微分方程，通過對一類微分方程進(jìn)行研究，可以更好地幫助我們進(jìn)行多元微分方程的研究，強(qiáng)化我們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).同時(shí)也有助于相應(yīng)物理學(xué)、化學(xué)、工程學(xué)等學(xué)科問題的研究和解決.因此，對一類微分方程的相關(guān)特性進(jìn)行研究具有重要意義，是實(shí)現(xiàn)各領(lǐng)域研究的基礎(chǔ).
1 微分方程的相關(guān)基本定義
微分方程指的是由未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間形成的方程等式.微分方程的解是使微分方程等式兩邊成立的函數(shù).微分方程具有十分廣泛的應(yīng)用，在物理學(xué)中許多涉及到動態(tài)的變化量的研究常用到微分方程.包括涉及到變力的動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)等，例如受到空氣阻力的落體運(yùn)動都可以利用微分方程進(jìn)行求解.
當(dāng)未知函數(shù)是一元函數(shù)時(shí)，未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系等式即為一類微分方程，也稱常微分方程.當(dāng)未知函數(shù)為多元函數(shù)時(shí)，未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系等式稱為偏微分方程.微分方程的數(shù)學(xué)模型如圖1.
2 一類微分方程的解與不動點(diǎn)
假設(shè)某一類微分方程形式為M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，且M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左邊部分即M(x,y)dx+N(x,y)dy為某個(gè)二元函數(shù)T(x,y)的全微分，則可以得到dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy.其中M(x,y)dx+N(x,y)dy=0為全微分方程，二元函數(shù)T(x,y)為該全微分方程的原函數(shù).
如果T(x,y)是dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy的一個(gè)原函數(shù)，則對全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0進(jìn)行通積分，可得到全微分的通積分T(x,y)=A，其中A為任意的常數(shù)[1].
如果F（x）≠T（x）Pk（x）＋1，其中Pk（x）是任意次數(shù)為k的多項(xiàng)式,則對于方程非零亞純解f（x）的k－1階導(dǎo)數(shù)f（k-1）（x）有無窮多個(gè)不動點(diǎn)，且τ（f（k－1））＝σ（f）＝＋∞和τ2（f（k－1））＝σ2（f）＝σ至多有一個(gè)例外解f（x）.
通過對微分方程進(jìn)行方程假設(shè)和窮級轉(zhuǎn)換，在非零亞純函數(shù)的變化下，通過極點(diǎn)等數(shù)據(jù)方程轉(zhuǎn)化，構(gòu)建微分方程的等式典型乘積或通過多項(xiàng)式建立，對方程等式進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納.在對數(shù)測度為有限的集合條件中，通過范圍假設(shè)，引理帶入運(yùn)算，建立相應(yīng)的解集表達(dá)式.通過微分方程的解集表達(dá)式，進(jìn)行方程式的解集求導(dǎo)，獲取一類微分方程的解的一階導(dǎo)數(shù).對解集等式和解集一階導(dǎo)數(shù)式進(jìn)行變形，并代入上述引理等式中，通過變形轉(zhuǎn)化和數(shù)據(jù)假設(shè)推斷，從而得到不動點(diǎn)的關(guān)系等式.
5 結(jié)束語
綜上所述，通過對一類微分方程進(jìn)行求解和解的導(dǎo)數(shù)與不動點(diǎn)之間的關(guān)系研究，指出受微分方程的制約影響，一類微分方程的不動點(diǎn)密度與解和解的導(dǎo)數(shù)情況有著密切的關(guān)系.對一類微分方程的解進(jìn)行分析以及解的導(dǎo)數(shù)情況進(jìn)行分析，從而分析一類微分方程解與解的導(dǎo)數(shù)與微分方程不動點(diǎn)之間的關(guān)系，從而更好地幫助我們進(jìn)行微分方程的學(xué)習(xí)以及高階層微分方程的研究，從而將微分方程的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到更多的領(lǐng)域，幫助各領(lǐng)域研究人員進(jìn)行動態(tài)量的研究，從而提高各領(lǐng)域的應(yīng)用水平的發(fā)展以及社會技術(shù)的發(fā)展和提高.目前，我們對于一類微分方程的解與解的導(dǎo)數(shù)和微分方程不動點(diǎn)之間的關(guān)系研究還不深入，因此希望后期更多研究者對微分方程進(jìn)行更加深入的探討和研究.
參考文獻(xiàn)：
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關(guān)鍵詞：多媒體教學(xué) 常微分方程 Maple Matlab Mathematica
中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-3973（2012）012-159-02
近年來，多媒體教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用，成為了高等數(shù)學(xué)教學(xué)必不可少的輔助教學(xué)手段。常微分方程作為高等數(shù)學(xué)的重要課程，長期以來沿襲著傳統(tǒng)的教學(xué)模式，使得教師盡管在教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)上耗費(fèi)了許多精力。
1多媒體教學(xué)在常微分方程教學(xué)中的優(yōu)勢
通常情況下，在常微分方程的課堂教學(xué)中主要都是以給出方程的解法為主，這里所指方程解一般都是解析解，但是由于很多方程都沒有解析解法，故此只能給出相應(yīng)的定性理論分析。由于常微分方程本身的抽象性，使其方程解所對應(yīng)的積分曲線顯得過于抽象，這為學(xué)生進(jìn)一步了解與之相關(guān)的概念增添了一定的難度。若是能夠在課堂教學(xué)的過程中，采用一些直觀形象的圖形，則可以使學(xué)生對常微分方程的解以及與之相關(guān)的概念了解的更加透徹，這有利于提高教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量。然而，在大多數(shù)院校中，常微分方程的教學(xué)始終都沿襲著一塊黑板、一只粉筆的教學(xué)模式，在這種教學(xué)模式下，學(xué)生對于一些難以理解的概念和圖形常常會束手無策，這在一定程度上打消了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性，教學(xué)效果不盡人意。為此，必須打破這種傳統(tǒng)的教學(xué)模式，多媒體教學(xué)的出現(xiàn)為解決這一問題提供了有利條件，其在常微分方程教學(xué)中的優(yōu)勢具體體現(xiàn)在以下方面：（1）教學(xué)信息量得以顯著增加，進(jìn)而使課堂教學(xué)效率大幅度提高。多媒體教學(xué)手段在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用，可以使教師將更多的時(shí)間和精力花在雙邊教學(xué)活動中，這無形中增大了信息的傳遞量，有助于拓寬學(xué)生的知識面，使其能夠在課堂上學(xué)到更多的知識；（2）有效地增強(qiáng)了教學(xué)的生動性和直觀性，大幅度提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。多媒體教學(xué)課件能夠?qū)D形、文字和聲音有機(jī)地融為一體，使原本抽象的問題，變得直觀、形象，這樣學(xué)生對課堂教學(xué)的內(nèi)容更容易理解和掌握，并且也有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
2多媒體教學(xué)在常微分方程教學(xué)中的具體應(yīng)用
2.1 Maple在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用
Maple是一款可用于進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和圖形處理的數(shù)學(xué)軟件，該軟件具有極其強(qiáng)大的功能，如計(jì)算、繪圖和仿真等等?？梢酝ㄟ^Maple軟件來研究常微分方程的數(shù)值解法，并以其強(qiáng)大的繪圖功能來演示幾何特征較為明顯的概念，如奇解等等。這有助于學(xué)生更加深入地了解并掌握常微分方程求解的方法。教師以這種形象生動的教學(xué)方式更容易吸引學(xué)生的注意力，便于學(xué)生對常微分方程理論知識的了解和掌握，而且還可以將理論與實(shí)踐有機(jī)地結(jié)合到一起，使原本抽象的課程變得生動形象，學(xué)習(xí)難度大幅度降低，教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量得以顯著提高。高校在常微分方程的教學(xué)中，幾乎都是先學(xué)習(xí)一階常微分方程的解題方法，而初等積分法則是最為常用的方法之一。雖然初等積分法可以求出常微分方程的解，但是卻并不能求出常微分方程全部的解，而且想要通過求積分將方程的解以函數(shù)的形式表示出來也是很難實(shí)現(xiàn)的，這對于初次接觸常微分方程的學(xué)生而言，很難真正理解其中的一些概念，如積分曲線、方向場以及等傾線等等。而借助Maple軟件則能夠有效地解決無法用初等積分法求解的常微分方程。
例1 ：求=x+y這一常微分方程的通解。運(yùn)用Maple軟件的解題步驟如下：
首先鍵入 這一命令；
然后再鍵入 。
由以上操作便可以得到一個(gè)含有常數(shù)項(xiàng)CI的通解，若是給該解制定一個(gè)特定的值，則可獲得特解。如果初始值y（0）=2，那么Maple的命令為：
；
最終得出的結(jié)果為 。
要是還需要畫出該方程的解，則可在Maple中鍵入以下命令：
；
其結(jié)果為 ；
再通過 這一命令便可以獲得常微分方程解的圖形。
2.2 Matlab在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用
Matlab是一種應(yīng)用于計(jì)算數(shù)值和處理圖形的數(shù)學(xué)軟件，它構(gòu)建了一個(gè)簡單便捷的交互式工作環(huán)境，將計(jì)算、程序設(shè)計(jì)和可視化集于一體，具備設(shè)計(jì)應(yīng)用程序、符號運(yùn)算、原型開發(fā)、工程計(jì)算、數(shù)據(jù)分析及可視化、算法研究、工程繪圖等諸多功能。Matlab內(nèi)提供了有利于求解高等數(shù)學(xué)問題的命令，如求解積分、導(dǎo)數(shù)、常微分方程（組）解、微分的命令，以及有利于繪制多種二維、三維圖形的繪圖命令。所以，Matlab已經(jīng)成為部分高等應(yīng)用數(shù)學(xué)課程實(shí)施多媒體輔助教學(xué)的有效工具。在常微分方程教學(xué)中，教師可以應(yīng)用Matlab講解常微分方程的數(shù)值解法，也可以利用繪圖命令對某些概念的幾何特征進(jìn)行演示。如，將Matlab應(yīng)用于奇解的幾何意義解釋中。
例2：數(shù)值試驗(yàn)二方程 的通解為 ，奇解為 。為了準(zhǔn)確解釋該奇解的幾何意義，可在對c選取特殊值的基礎(chǔ)上，利用Matlab代碼繪制積分曲線族和奇解的曲線。
2.3 Mathematica在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用
目前，Mathematica是全球應(yīng)用最為廣泛的一種符號計(jì)算系統(tǒng)，它具備多種功能，如符號與數(shù)值運(yùn)算、動畫制作以及繪制數(shù)學(xué)圖形等等，該系統(tǒng)以其自身強(qiáng)大的功能被廣泛應(yīng)用于航空航天、機(jī)械制造、數(shù)學(xué)、化學(xué)、物理以及社會學(xué)等諸多學(xué)科領(lǐng)域當(dāng)中。就常微分方程而言，其屬于較為抽象的一門課程，由于這門課程本身的抽象性，給教學(xué)增添了一定的難度，如何進(jìn)一步提高該課程的教學(xué)質(zhì)量，一直是教師們努力的方向。Mathematica軟件在該課程中的應(yīng)用使諸多教學(xué)難點(diǎn)迎刃而解，如借助該軟件的數(shù)值計(jì)算和繪圖功能，可以讓學(xué)生進(jìn)一步了解某些常微分方程的性態(tài)，并且還可以運(yùn)用該軟件的符號計(jì)算功能直接對常微分方程進(jìn)行求解。此外，利用計(jì)算機(jī)和相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件還可以進(jìn)行常微分方程實(shí)驗(yàn)，這樣一來，學(xué)生既能動手操作，又能動腦思考，有效地激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而促進(jìn)了學(xué)生獨(dú)立思考和綜合應(yīng)用能力的提高。下面簡要介紹Mathematica軟件在方向場、積分曲線與微分方程的近似解中應(yīng)用。在=f（x，y）這一微分方程中，其積分曲線是始終順著線素場行進(jìn)的曲線，由此可知，每一個(gè)點(diǎn)都會與線素場相切。如果在方程不可積的情況下，那么便可以按照線素場的實(shí)際走向來求出最為近似的積分曲線，并且還可以按照線素場自身的性質(zhì)來對微分方程解的性質(zhì)進(jìn)行研究，在這一過程中，并不需要提前求出方程的解，該解題思路完全符合定性理論和近似解法的思想。然而，在實(shí)際解題過程中，由于方向場的圖形比較復(fù)雜，若是采用手工制圖的方法不僅費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，而且還很難得出規(guī)范的圖形。而借助Mathematica軟件來輔助教學(xué)便可以使該問題迎刃而解。
例3：在求微分方程 的方向場時(shí)，便可運(yùn)用Mathematica軟件來完成，具體步驟如下：
打開Mathematica后，輸入
運(yùn)行后便可獲得圖2。
3多媒體教學(xué)在常微分方程教學(xué)中應(yīng)注意的問題
將多媒體教學(xué)應(yīng)用于常微分方程教學(xué)中，轉(zhuǎn)變了“黑板+粉筆”的傳統(tǒng)教學(xué)模式，在提高常微分方程教學(xué)效率方面發(fā)揮著不可替代的作用。但是，教師在運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)技術(shù)的同時(shí)，也應(yīng)當(dāng)處理好教學(xué)中容易出現(xiàn)的幾個(gè)問題，正確看待多媒體教學(xué)的利弊關(guān)系。
3.1處理好教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)時(shí)限的關(guān)系
常微分方程課程具備內(nèi)容豐富、信息量大的特點(diǎn)，在教學(xué)過程中，不僅要確保教學(xué)內(nèi)容符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使學(xué)生能夠理解知識、應(yīng)用知識，還應(yīng)當(dāng)在運(yùn)用多媒體教學(xué)手段的基礎(chǔ)上，充分利用有限的教學(xué)時(shí)間講清教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，保證教學(xué)內(nèi)容與課件的有效銜接，力求在教學(xué)時(shí)限內(nèi)幫助學(xué)生掌握學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)。
3.2處理好知識傳授量與知識吸收量的關(guān)系
多媒體教學(xué)可以最大限度地?cái)U(kuò)充教學(xué)信息量，使教師在節(jié)省黑板板書時(shí)間的情況下講授更多的內(nèi)容。但是，教師若不能很好地控制多媒體教學(xué)節(jié)奏，則會讓學(xué)生思維滯后于教學(xué)節(jié)奏的變化，使得知識吸收量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于知識傳授量。因此，教師應(yīng)當(dāng)把握好多媒體教學(xué)的合理停頓，給予學(xué)生充足的記筆記時(shí)間和思考的時(shí)間，并適當(dāng)結(jié)合板書教學(xué)，幫助學(xué)生理解和掌握教學(xué)難點(diǎn)。
3.3處理好多媒體教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)的關(guān)系
隨著計(jì)算機(jī)在我國各大院校的普及應(yīng)用，為多媒體教學(xué)提供了一個(gè)良好的平臺。雖然多媒體教學(xué)有著傳統(tǒng)教學(xué)方法無可比擬的優(yōu)越性，但其也存在一定的局限性。如何處理好多媒體教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)方法這兩者之間的關(guān)系，是應(yīng)用多媒體教學(xué)時(shí)需要解決的首要問題之一。在傳統(tǒng)的常微分方程教學(xué)中，應(yīng)用多媒體教學(xué)的最終目的是要將兩種教學(xué)方法的優(yōu)點(diǎn)都充分發(fā)揮出來，這樣才能使課堂教學(xué)效果和質(zhì)量有所提高。在具體應(yīng)用中，教師應(yīng)當(dāng)按照學(xué)生反饋回來的意見，對多媒體課件進(jìn)行修改，并在課堂教學(xué)中恰當(dāng)?shù)貙⑦@兩種教學(xué)方法結(jié)合在一起，發(fā)揮出各自的優(yōu)勢，揚(yáng)長避短，進(jìn)而達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果的目的。
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關(guān)鍵詞：常微分方程；可解類型；成本和利潤核算
常微分方程是代數(shù)中最簡單但是亦是最重要的一類方程組，常微分方程是我們在解決日常經(jīng)濟(jì)生活問題中非常重要的工具，常微分方程的作用也非常之多，比如在航天領(lǐng)域、自動化領(lǐng)域、電子通信領(lǐng)域、化學(xué)反應(yīng)研究領(lǐng)域等，科學(xué)前沿的方方面面都需要用到常微分方程來解決研究中的問題。許多難解的問題，解法中的式子最后都能化成常微分方程，所以常微分方程對于計(jì)算數(shù)學(xué)是極其重要的。遇到問題時(shí)，我們需要在已知條件中找出已知數(shù)和未知數(shù)的關(guān)系，并利用已知的關(guān)系列出方程，然后進(jìn)行求解，逐步推出我們需要的未知數(shù)的值。
常微分方程式在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最重要的應(yīng)用是其在公司成本與利潤核算中的應(yīng)用，成本與利潤的常微分方程雖然簡單易懂，但是其突破了傳統(tǒng)的計(jì)算能力，運(yùn)用計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力，在短時(shí)間內(nèi)可以完成人力幾天甚至幾個(gè)月的工作量，是現(xiàn)代科技力量對商業(yè)最大的貢獻(xiàn)之一?？梢哉f這一方程式在計(jì)算機(jī)中的運(yùn)用是商業(yè)核算精準(zhǔn)化和便捷化的最大保證，帶來了現(xiàn)代商業(yè)會計(jì)核算、審計(jì)核算的革命。
數(shù)學(xué)知識運(yùn)用到商業(yè)是古已有之，但是微分方程在商業(yè)計(jì)算中的應(yīng)用，只能計(jì)算到資本市場的完全興起，我們了解的最著名的例子莫過于電《大空頭》里幾位銀行家合作做空資本市場的舉動，雖然電影演繹的精彩絕倫，妙趣橫生，但是現(xiàn)實(shí)中的事實(shí)遠(yuǎn)比電影來的精彩。2007年-2008年之前，john Paulson作為一個(gè)籍籍無名的對沖基金經(jīng)理人，與華爾街精英圈無緣。在他四十歲的時(shí)候成立自己的基金公司，經(jīng)過十年的默默打拼，2003資產(chǎn)規(guī)模才達(dá)到15億美元，這在精英云集的華爾街連二流都算不上，當(dāng)然這是他還沒遇上他的同學(xué)Paolo Pellegrini之前，2004年10月，兩人才正式合伙，雖然Paulson當(dāng)時(shí)只給了Pellegrini一個(gè)初級分析師的職位，但是對于畢業(yè)于哈佛大學(xué)的Pellegrini來說這已經(jīng)足夠了。當(dāng)?shù)谝淮蜳ellegrini向Paulson建議用CDS工具做空美國房地產(chǎn)時(shí)，相信Paulson也是驚詫不已的，但是Pellegrini在大量基礎(chǔ)研究的基礎(chǔ)上，通過大量的模擬計(jì)算，說服了自己的老同學(xué)同時(shí)也是自己雇主的Paulson，Pellegrini向Paulson展示的美國房地產(chǎn)走勢圖，像一張藏寶圖一樣展示在他的面前，讓他看到了做空美國房地產(chǎn)的美好前景和巨額利潤收入。
沒有微分方程的大規(guī)模運(yùn)算和Pellegrini精準(zhǔn)的分析頭腦，把一張市場走勢圖擺在任何人的面前，他們都無法看到里面蘊(yùn)藏的巨大財(cái)富。Pellegrini作出那張美國房地產(chǎn)走勢圖被譽(yù)為價(jià)值“200億美金”，可想而知。
后來，在現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用中，人們又發(fā)現(xiàn)，往往解決問題并不需要求出通解或者特解，而是需要知道方程組在什么情況下會出現(xiàn)什么類型的解，就能滿足一些生產(chǎn)生活的需要了。比如，給定一個(gè)方程，我們需要知道該方程在什么情況下存在解，什么情況下不存在解；或者，在給定方程的前提下，能夠知道在什么條件下能求出幾組通解，而哪些通解是對于我們求出所需特解有價(jià)值、有作用的。往往我們現(xiàn)在關(guān)注的多是這樣的問題，而不僅僅限于尋找微分方程的解上。常微分方程的作用非常之多，比如在航天領(lǐng)域、自動化領(lǐng)域、電子通信領(lǐng)域、化學(xué)反應(yīng)研究領(lǐng)域等，科學(xué)前沿的方方面面都需要用到常微分方程來解決研究中的問題。研究常微分方程的新的可解類型，是幫助我們在各個(gè)學(xué)科中，處理難題，突破難關(guān)的重要途徑。所以我們需要對常微分方程的新的可解類型進(jìn)行更深的研究，通過對方程組的解析來促進(jìn)各個(gè)學(xué)科的蓬勃發(fā)展。
在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中，分租制和定額制在現(xiàn)代商業(yè)公司管理中作為兩種最基本的管理模式的根本，受到各種研究者的青睞，要想分清這兩種模式那個(gè)更加實(shí)用高效，必須用到常微分方程的計(jì)算方式，這也是數(shù)學(xué)對現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的巨大貢獻(xiàn)之一，計(jì)算出了分租制和定額制的優(yōu)劣之后，現(xiàn)代公司才可以在此基礎(chǔ)上選擇適合本身的管理模式，才會衍生出現(xiàn)代意義上的國有公司，股份制公司，人公司和有限責(zé)任公司等各種形式，讓我們明白了商業(yè)市場的運(yùn)行子單位是怎樣的構(gòu)成部分。
許多微分方程要求求出方程的近似解，并且保證一定范圍內(nèi)的精確度就可以，人類的科技在不斷發(fā)展，所需要的精確度也會越來越高，而隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的進(jìn)步，能夠求出的精確度也會越來越高，才能適應(yīng)其他學(xué)科對于數(shù)學(xué)手段的需求。尋找常微分方程的新的可解類型是研究微分方程的科學(xué)家們、數(shù)學(xué)家們一直努力的目標(biāo)。目前，已知的可解類型并不多，在變化眾多的方程組中，目前已知的可解類型相比之下，還是屈指可數(shù)的，還需要通過大量的研究才能判斷和解決其他的可解類型的常微分方程。
結(jié)束語：微分方程就是指未知數(shù)以導(dǎo)數(shù)的形式與已知數(shù)產(chǎn)生關(guān)系，也就是說，在微分方程中未知數(shù)是以導(dǎo)數(shù)形式存在的。這樣的方程的求解過程可能非常復(fù)雜，對于求解的方法要求比較特殊。我們就可以利用微積分的知識求出一些微分方程的近似解。常微分方程的作用非常之多，是我們在解決日常經(jīng)濟(jì)生活問題中常用的一種手段。常微分方程的運(yùn)用在的幫助下經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中取得了很大的進(jìn)步，是企業(yè)的很多工作變得簡單、清晰，在常微分方程的幫助下人們對經(jīng)濟(jì)規(guī)律認(rèn)識精確度有了很大提高。尤其是近年，常微分方程在生活，經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的運(yùn)用也越來越多。常微分方程作為輔助手段，讓管理科學(xué)和經(jīng)濟(jì)科學(xué)的研究做到了簡潔和精確。著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生就是將經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)理論與生產(chǎn)實(shí)踐活動很好結(jié)合的典范。數(shù)學(xué)方法，特別是常微分方程進(jìn)入入經(jīng)濟(jì)科學(xué)的領(lǐng)域，成為了研究和分析社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象與社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展的有力工具。
（作者單位：沈陽師范大學(xué)）
參考文獻(xiàn)：
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關(guān)鍵詞：微分方程；模型；應(yīng)用
對于現(xiàn)實(shí)世界的變化，人們關(guān)注的往往是變量之間的變化率，或變化速度、加速度以及所處的位置隨時(shí)間的發(fā)展規(guī)律，之中的規(guī)律一般可以寫成一個(gè)（偏）微分方程或方程組。所以實(shí)際問題中，有大批的問題可以用微分方程來建立數(shù)學(xué)模型，涉及的領(lǐng)域包括物理學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、力學(xué)、政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、人口、資源等等。
一、微分方程數(shù)學(xué)原理解析
在初等數(shù)學(xué)中，方程有很多種，比如線性方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程等，然而并不能解決所有的實(shí)際問題。要研究實(shí)際問題就要尋求滿足某些條件的一個(gè)或幾個(gè)未知數(shù)方程。這類問題的基本思想和初等數(shù)學(xué)的解方程思想有著許多的相似之處，但是在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質(zhì)等方面依然存在很多不同的地方，為了解決這類問題，從而產(chǎn)生了微分方程。
微分方程是許多理工科專業(yè)需要開設(shè)的基礎(chǔ)課程，微分方程與微積分是同時(shí)產(chǎn)生的，一開始就成為人類認(rèn)識世界和改造世界的有力工具，隨著生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，該學(xué)科已經(jīng)演變發(fā)展為數(shù)學(xué)學(xué)科理論中理論聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要分支。隨著數(shù)學(xué)建?；顒拥娜找婊钴S，利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型，成為解決實(shí)際問題不可或缺的方法與工具。
而數(shù)學(xué)模型是對于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對象，一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).簡單地說：就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式（或是用數(shù)學(xué)術(shù)語對部分現(xiàn)實(shí)世界的描述），即用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）所研究的客觀對象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律。
二、微分方程模型應(yīng)用于實(shí)際問題的方法和流程總結(jié)
在研究實(shí)際問題時(shí)，常常會聯(lián)系到某些變量的變化率或?qū)?shù)，這樣所得到變量之間的關(guān)系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，要得到直接關(guān)系，就得求微分方程。
一般用于求解微分方程的方法或形式有三種，分別是求解析解、求數(shù)值解（近似解）和定性理論方法。而建立微分方程模型的方法通常也有三種，其一是利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律等來建立微分方程模型；其二是利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律；其三是在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對比，檢驗(yàn)此模型能否刻畫、模擬某些實(shí)際現(xiàn)象。
在建立數(shù)學(xué)微分方程的流程上，我們通常第一步是對具體實(shí)際問題進(jìn)行分析，找出問題中的變化量和變量關(guān)系，接著進(jìn)行模型假設(shè)，將實(shí)際問題的元素用數(shù)學(xué)概念代替，然后進(jìn)行符號設(shè)定，簡化計(jì)算，從而建立模型，進(jìn)行求解，最后用求解的結(jié)果對之前的問題分析和模型假設(shè)進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證合理后進(jìn)行模型的應(yīng)用和評估。
三、微分方程模型應(yīng)用領(lǐng)域歸納和具體案例分析
從應(yīng)用領(lǐng)域上講，微分方程大方向上的應(yīng)用領(lǐng)域主要分社會及市場經(jīng)濟(jì)、戰(zhàn)爭微分模型分析、人口與動物世界、疾病的傳染與診斷和自然科學(xué)這五個(gè)方面，如果細(xì)致來講，其中社會及市場經(jīng)濟(jì)方面又包括綜合國力的微分方程模型、誘發(fā)投資與加速發(fā)展的微分方程模型、經(jīng)濟(jì)調(diào)整的微分方程模型、廣告的微分方程模型、價(jià)格的微分方程模型；戰(zhàn)爭微分模型包括軍備競賽的微分方程模型、戰(zhàn)爭的微分方程模型、戰(zhàn)斗中生存可能性的微分方程模型、戰(zhàn)爭的預(yù)測與評估模型；人口與動物世界領(lǐng)域包括單種群模型及進(jìn)行開發(fā)的單種群模型、弱肉強(qiáng)食模型、兩個(gè)物種在同一生態(tài)龕中的競爭排斥模型、無管理的魚類捕撈模型、人口預(yù)測與控制模型；疾病傳染與診斷領(lǐng)域包括艾滋病流行的微分方程模型、糖尿病診斷的微分方程模型、人體內(nèi)碘的微分方程模型、藥物在體內(nèi)的分布與排除模型；自然科學(xué)領(lǐng)域包括人造衛(wèi)星運(yùn)動的微分方程模型、航空航天器翻滾控制的微分方程模型、非線性振動的微分方程模型、PLC電路自激振蕩的微分方程模型和盯梢與追擊問題的微分方程模型等。
盡管從上述微分方程應(yīng)用領(lǐng)域的羅列和總結(jié)上，我們會覺得比較復(fù)雜，其實(shí)所有微分方程建模問題的流程都是嚴(yán)格按照問題分析、模型假設(shè)、符號設(shè)定、建立模型、模型求解和驗(yàn)證模型這一流程進(jìn)行的，下面就結(jié)合一個(gè)案例來具體分析：
比如弱肉強(qiáng)食微分方程模型。生活在同一環(huán)境中的各類生物之間，進(jìn)行著殘酷的生存競爭。設(shè)想一海島，居住著狐貍與野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之豐富，兔子們無無食之憂，于是大量繁殖；兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐貍數(shù)量增加吃掉大量兔子，狐群又進(jìn)入饑餓狀態(tài)而使其總數(shù)下降，這時(shí)兔子相對安全，于是兔子總數(shù)回升。就這樣，狐兔數(shù)目交替地增減，無休止的循環(huán)，遂形成生態(tài)的動態(tài)平衡。那么，如何用建立數(shù)學(xué)模型描述并預(yù)測下一階段情況呢？在這個(gè)問題上，某一時(shí)刻兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量就存在變量關(guān)系：
其中ax表示兔子的繁殖速度與現(xiàn)存兔子數(shù)成正比，-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度；-cy表示狐貍因同類爭食造成的死亡速度與狐貍總數(shù)成正比；dxy表示狐兔相遇，對狐貍有好處而使狐貍繁殖增加的速度。
四、結(jié)語
微分方程模型的應(yīng)用讓很多現(xiàn)實(shí)中難以具體計(jì)算的問題迎刃而解，通過對事物發(fā)展規(guī)律的掌控進(jìn)行科學(xué)建模，是數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的發(fā)展趨勢，作為廣大在校進(jìn)行數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)的同學(xué)來說，掌握好專業(yè)基本功，是將來就業(yè)工作，實(shí)現(xiàn)自身價(jià)值的重要途徑。
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關(guān)鍵詞：高等師范院校；課程教學(xué)；培養(yǎng)
中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）02-0088-02
一、引言
常微分方程是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的主要基礎(chǔ)課程。一方面，它是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等課程的延續(xù)和補(bǔ)充，另一方面，它是微分方程定性理論、偏微分方程等課程的前提和基礎(chǔ)。常微分方程是自然科學(xué)、社會科學(xué)中精確描述各種基本定律和相關(guān)問題的重要工具和手段。只要根據(jù)問題的前提條件和應(yīng)用背景建立微分方程模型，利用相應(yīng)的微分方程的求解方法計(jì)算出該微分模型的精確解或數(shù)值解，從而人們就可以利用其結(jié)果預(yù)見事情的發(fā)展趨勢，比如2003年爆發(fā)的非典，根據(jù)非典的特點(diǎn)和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)家和醫(yī)學(xué)專家建立相應(yīng)的微分方程模型，并找到控制疾病的方法、研發(fā)有效的藥物。由此可見，常微分方程變成人們發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識、適應(yīng)、改造自然和世界的有力工具，也是將數(shù)學(xué)等理論應(yīng)用實(shí)際的主要途徑。因此，常微分方程對高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用專業(yè)學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)是至關(guān)重要的。
二、常微分方程課程教學(xué)模式改革的必要性
目前衡陽師范學(xué)院等高等師范院校在“常微分方程”課程教學(xué)中，存在一些問題和矛盾，結(jié)合以前學(xué)習(xí)常微分方程及現(xiàn)在擔(dān)任常微分方程教學(xué)任務(wù)的親身體會，筆者認(rèn)為主要有以下幾點(diǎn)：
第一，講解應(yīng)用實(shí)際問題例題方面不夠。眾所周知，在眾多抽象的數(shù)學(xué)專業(yè)課程中，常微分方程是一門與自然世界聯(lián)系非常密切的數(shù)學(xué)課程，可是，擔(dān)任這門課程的任課教師在教學(xué)過程中，經(jīng)常忽略這一特點(diǎn)，比如在教學(xué)內(nèi)容的處理方面，根據(jù)教材，只注重講授微分方程的基本定義、解的存在唯一性等基本理論和一階或高階微分模型的基本解法，很少補(bǔ)充講授常見的微分方程模型的背景知識、如何分析模型、求解模型及模型的應(yīng)用價(jià)值。事實(shí)上，許多的常微分方程模型在量子力學(xué)、社會關(guān)系學(xué)、醫(yī)學(xué)中傳染病、分子化學(xué)、金融經(jīng)濟(jì)學(xué)及氣象學(xué)中應(yīng)用非常廣泛。分析和講解這些實(shí)際問題的理論背景對于激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的興趣是至關(guān)重要的，使他們深刻意識到常微分方程模型在求解具體實(shí)際問題發(fā)揮非常重要的應(yīng)用價(jià)值，從而培育學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、分析和解決實(shí)際問題的能力，進(jìn)一步激發(fā)他們的創(chuàng)造性。
第二，處理教材的教學(xué)內(nèi)容方面不太合理。許多重要的定理（例如一階微分方程解的存在唯一性定理），任課教師在課堂上只簡復(fù)述一下定理的主要內(nèi)容，然后簡單板書一下定理證明的五個(gè)步驟，沒有闡述清楚為什么要分五步來證明，也沒有著重強(qiáng)調(diào)它與微分方程組或高階微分方程解存在唯一性的相互關(guān)系；還有一些重要的基礎(chǔ)內(nèi)容（例如，質(zhì)點(diǎn)振動、第二宇宙速度計(jì)算等），許多任課教師一筆帶過或略講，這些內(nèi)容恰恰體現(xiàn)常微分方程在物理學(xué)中的應(yīng)用，學(xué)生可以用常微分方程相關(guān)知識來求解中學(xué)時(shí)學(xué)過的物理知識，簡單明了，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的興趣；此外，有些知識點(diǎn)（例如奇解、數(shù)值解等）雖然課程設(shè)置不作要求，不在常微分方程考試范圍內(nèi)，任課老師就只字不提，然而這些知識點(diǎn)在研究生課程――《微分方程定性理論》及《微分方程數(shù)值解》中占有十分重要的位置。
第三，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性方面不夠。當(dāng)前在中國，大學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)知識積極性不高是一種非常普遍的現(xiàn)象：課前很少有學(xué)生自覺預(yù)習(xí)，課后自動復(fù)習(xí)的學(xué)生少之又少，導(dǎo)致課堂上檢查預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)的效果很差；課堂上提問題的學(xué)生比較少，課后向老師請教的學(xué)生更少了，而在美國大學(xué)課堂上，有疑問學(xué)生可以直接向任課教師提問或者探討不同的觀點(diǎn)，或者利用隨身帶IPAD等電子設(shè)備查閱相關(guān)的參考文獻(xiàn)來驗(yàn)證，課堂氣氛非常融洽；做作業(yè)也只完成教師指定的作業(yè)，大部分學(xué)生相互抄襲，很少有學(xué)生把課后所有作業(yè)都獨(dú)立完成，課程考試成績一般由期末考試和平時(shí)表現(xiàn)決定，而在美國，學(xué)生可以自由選擇課后作業(yè)，獨(dú)立完成，課程考試成績由期末考試、月考和平時(shí)表現(xiàn)決定。造成這種想象的原因有很多：監(jiān)考制度不嚴(yán)，平時(shí)學(xué)習(xí)好的考試不一定得高分；就業(yè)壓力大，成績優(yōu)秀的不一定能找到好工作；近幾年來我國高校的擴(kuò)招，導(dǎo)致所錄取的大學(xué)生整體素質(zhì)不高，學(xué)生接收消化知識的能力下降；最近社會涌現(xiàn)出一批低學(xué)歷的暴發(fā)戶，讓大學(xué)生認(rèn)為創(chuàng)業(yè)更容易發(fā)揮自己的價(jià)值，感覺沒有考上大學(xué)的比考上大學(xué)的混得更好等等。主要原因是由任課教師的課堂教學(xué)的引導(dǎo)造成的，在教學(xué)過程中，從這一章節(jié)到另一章節(jié)，知識點(diǎn)銜接不好，學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，把握不好整個(gè)課程知識的整體框架，相關(guān)知識點(diǎn)之間的融會貫通的能力差，學(xué)完課程不能發(fā)現(xiàn)它的用處。
三、關(guān)于常微分方程課程教學(xué)改革的幾點(diǎn)建議
眾所周知，每一門課程都有它自己獨(dú)有的特點(diǎn)，常微分方程具有理論、實(shí)際和計(jì)算的鮮明特點(diǎn)。理論是指微分方程（組）解存在唯一性定理、穩(wěn)定性、奇點(diǎn)、極限環(huán)、分支和混沌等，因?yàn)橐话闱闆r不能直接找到微分方程的（通）解，通常只能利用MATLAB等軟件得到其似近解，然而這些理論就是其數(shù)值計(jì)算的主要依據(jù)；實(shí)際就是指微分方程與自然社會聯(lián)系緊密，微分方程關(guān)系表達(dá)式就是描述自然社會中量與量之間的關(guān)聯(lián)；計(jì)算是指利用已知條件求出微分方程（組）的（通）解。顯然，常微分方程的教學(xué)改革不只是改變教學(xué)手段和方式，而依據(jù)其特點(diǎn)，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，從而達(dá)到良好的實(shí)際效果的變革。因此，針對常微分方程課堂教學(xué)中出現(xiàn)的問題和矛盾，我們制定以下幾條措施。
第一，凸顯常微分方程的應(yīng)用性。常微分方程作為高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)人才培養(yǎng)方案的核心課程，具有很強(qiáng)實(shí)際應(yīng)用性。具體體現(xiàn)在：客觀實(shí)際中許多抽象數(shù)學(xué)理論主要通過建立微分方程模型來實(shí)現(xiàn)在其他學(xué)科的應(yīng)用，比如著名牛頓運(yùn)動定律、RLC電路、質(zhì)點(diǎn)振動、Malthus人口模型、傳染病模型、化學(xué)動力學(xué)模型等都可以通過常微分方程來建立數(shù)學(xué)模型。首先，作為任課教師必須在課堂教學(xué)上向?qū)W生解釋這些微分方程模型的實(shí)際背景，如何重述實(shí)際問題，課堂上演示如何將問題轉(zhuǎn)化，從而建立相應(yīng)的微分方程模型，接著引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)的微分知識對已經(jīng)建立的微分方程進(jìn)行求解，然后根據(jù)問題的實(shí)際背景對所建立的模型進(jìn)行修正和改善，從而建立合理而又客觀的數(shù)學(xué)模型，這樣既有利于提高學(xué)生的分析問題和解決問題能力，又激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，簡而言之，任課教師要不斷培育和增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力；其次，在布置課后作業(yè)時(shí)，任課教師要據(jù)學(xué)生的情況設(shè)置一些實(shí)用性、趣味性、開放性的習(xí)題，告訴學(xué)生完成作業(yè)的方式可以多種多樣，例如學(xué)生分組，一起討論、相互合作，共同完成作業(yè)，完成的時(shí)間很寬裕，這樣既調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又可以提高學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作能力；再次，有條件的教師鼓勵(lì)學(xué)生參與自己的科研立項(xiàng)項(xiàng)目，或者指導(dǎo)學(xué)生申報(bào)大學(xué)生研究性創(chuàng)新項(xiàng)目；最后，期末考試內(nèi)容和形式也可以多樣化。
第二，整合與優(yōu)化課堂教學(xué)內(nèi)容。任課教師在講授常微分方程過程中，根據(jù)自己的教學(xué)對象，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合與優(yōu)化。首先，由于高階微分方程可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程組，因此高階微分方程存在唯一性定理及其基本理論與一階線性微分方程組的相應(yīng)內(nèi)容非常相似，通過對比講授，它們的相同之處可以快速講過去，重點(diǎn)分析它們的不同的地方，這樣既可以在較少的授課時(shí)間內(nèi)完成教學(xué)任務(wù)，緩解學(xué)生學(xué)習(xí)的壓力，又能增加學(xué)生的印象，從而真正地理解和掌握這兩部分內(nèi)容。教師應(yīng)從課外選出一些有代表性的習(xí)題，尤其是考研的試題作為例子進(jìn)行講解，這樣授課的范圍不僅僅局限于教材，避免出現(xiàn)照本宣科的現(xiàn)象，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)可以增強(qiáng)學(xué)生考研的信心。
第三，增強(qiáng)師生的互動性。在教學(xué)過程中真正充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣、培育敢于探索的精神是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)常微分方程教學(xué)方法改革的核心。就像在美國大學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生事先預(yù)習(xí)，先了解一些基本概念、基本問題，容易理解的知識點(diǎn)，在時(shí)間充裕的情況下可以讓學(xué)生在課堂上講解，有不同觀點(diǎn)的可以相互闡述，同時(shí)允許學(xué)生自己查找各種相似問題，在課堂與老師、同學(xué)們分享，這樣真正讓學(xué)生參與到教學(xué)過程中來，能夠充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。另外，任課教師在講授例題時(shí)，從問題的研究背景、問題的引入到解決，處處設(shè)置疑問，留下伏筆，提出問題，盡可能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生分析問題?？偠灾?，在例題解答過程中，學(xué)生參與討論，勇于發(fā)表自己的觀點(diǎn)，營造一個(gè)師生平等、有問有答的課堂環(huán)境，從而培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的好習(xí)慣，增強(qiáng)學(xué)生不怕困難、敢于鉆研、不斷探索問題的能力。
四、結(jié)束語
面向新世紀(jì)，為社會培養(yǎng)出更多理論知識扎實(shí)、專業(yè)知識過硬、實(shí)踐能力超強(qiáng)的應(yīng)用技術(shù)型本科人才，每一個(gè)從事高等教育的人民教師，都應(yīng)該及時(shí)轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，調(diào)整和優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，更新教學(xué)手段和考核方式，為制定與時(shí)俱進(jìn)的課程體系貢獻(xiàn)自己的光和熱！
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【關(guān)鍵詞】微分方程 生物信息學(xué) 案例式教學(xué)法 問題式教學(xué)法
【中圖分類號】O175 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）10-0060-01
生物信息學(xué)作為一門交叉學(xué)科正在迅猛的發(fā)展，通過將數(shù)學(xué)科學(xué)知識和技巧引入生物科學(xué)的領(lǐng)域，幫助生物學(xué)家解釋各種生命現(xiàn)象。同時(shí)，生物學(xué)又為數(shù)學(xué)家提供了豐富的研究課題。微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課，也是其他工科專業(yè)的必修課程之一，為其解決實(shí)際問題提供必要的數(shù)學(xué)知識。微分方程通過對自然科學(xué)和社會科學(xué)中的問題進(jìn)行數(shù)值或者定性的描述，幫助人們對事物的發(fā)展進(jìn)行預(yù)見。微分方程在眾多的領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，包括物理學(xué)、航天、醫(yī)藥、化學(xué)和生物學(xué)等領(lǐng)域。隨著完成測序的生物數(shù)量的迅速增加及更深入廣泛的了解基因功能，生物網(wǎng)絡(luò)的研究在生物信息學(xué)中越來越受重視。由于微分方程系統(tǒng)的靈活強(qiáng)大，有利于描述生物網(wǎng)絡(luò)中的復(fù)雜關(guān)系。因此，微分方程課程被生物信息學(xué)專業(yè)作為重要的必修課程之一。由于本課程數(shù)學(xué)理論豐富應(yīng)用性較強(qiáng)的特點(diǎn)，在給非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生授課的過程中往往面臨兩難的境地：一方面如果按照數(shù)學(xué)專業(yè)授課模式側(cè)重?cái)?shù)學(xué)理論的介紹就會脫離本專業(yè)的特點(diǎn)，應(yīng)用性欠缺使得學(xué)生缺乏興趣；另一方面，如果大量介紹應(yīng)用，又會因?yàn)閷W(xué)生數(shù)學(xué)背景知識的缺乏而造成學(xué)生比較迷茫。如何在授課過程中將理論和實(shí)際內(nèi)容有機(jī)的結(jié)合，從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生興趣值得思考。本文結(jié)合生物信息學(xué)的專業(yè)特點(diǎn)，總結(jié)了微分方程在教學(xué)過程中的一點(diǎn)體會。
1.合理的整合教學(xué)內(nèi)容
關(guān)于微分方程的教材很多，但是一些教材偏重于理科注重公式定理的推導(dǎo)證明，沒有實(shí)際應(yīng)用的舉例，公式抽象語言晦澀學(xué)生難于理解。本校生物信息學(xué)本科專業(yè)采用的教材是周義倉編寫的常微分方程及其應(yīng)用，其內(nèi)容上在反應(yīng)數(shù)學(xué)理論嚴(yán)密性的同時(shí)，強(qiáng)調(diào)了建模、應(yīng)用和計(jì)算機(jī)等特點(diǎn)，每章使用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行具體實(shí)例的解析。
首先，在吃透教材的基礎(chǔ)上對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。在了解數(shù)學(xué)背景知識的同時(shí)更注重微分方程理論的應(yīng)用性而不關(guān)注數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)。
其次，注意不同知識點(diǎn)的歸納總結(jié)。在教學(xué)過程中注意及時(shí)的整理和總結(jié)，幫助學(xué)生理清它們之間的區(qū)別與聯(lián)系。同時(shí)，這些理論知識的落腳點(diǎn)就是眾多不同類型微分方程的求解，針對不同求解方法進(jìn)行歸納，強(qiáng)化訓(xùn)練。
最后，注意學(xué)生實(shí)際的動手操作能力。結(jié)合實(shí)驗(yàn)課針對每章的教學(xué)內(nèi)容鍛煉學(xué)生的實(shí)際動手操作能力，結(jié)合Maple或Matlab軟件判斷微分方程的類型并進(jìn)行求解。除此之外，可以適當(dāng)增加實(shí)際的問題，例如藥物代謝、基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)等生物信息學(xué)中的經(jīng)典問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模、求解方程、解釋實(shí)際現(xiàn)象。
2.多樣化的教學(xué)方法和手段
微分方程涉及很多數(shù)學(xué)理論的推導(dǎo)，因此在數(shù)學(xué)專業(yè)中往往采用板書的方式。既能幫助學(xué)生理解推演過程，又能根據(jù)學(xué)生理解情況隨時(shí)調(diào)整。但是對于生物信息學(xué)專業(yè)單純的板書或者多媒體教學(xué)都會導(dǎo)致單調(diào)枯燥，影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。將二者有機(jī)的結(jié)合，通過板書將復(fù)雜的理論知識在黑板上演示，同時(shí)將微分方程的圖形利用多媒體技術(shù)展現(xiàn)使得課堂教學(xué)更具有直觀性，使學(xué)生更容易理解教學(xué)內(nèi)容并加深印象。在教學(xué)過程中適當(dāng)引入討論式教學(xué)方法，針對實(shí)際問題讓學(xué)生進(jìn)行分組討論有利于培養(yǎng)學(xué)生積極探索、勇于創(chuàng)新、敢于質(zhì)疑的學(xué)習(xí)態(tài)度。
3.理論聯(lián)系實(shí)際
對于微分方程的內(nèi)容，如果只進(jìn)行理論的學(xué)習(xí)而不進(jìn)行上機(jī)的實(shí)際操作無異于是紙上談兵，上機(jī)的操作如果僅僅局限于是方程的求解和判斷也僅僅是浪費(fèi)時(shí)間。通過上機(jī)時(shí)間不僅鍛煉學(xué)生將所學(xué)算法程序化和學(xué)生的邏輯思維能力，還要提供學(xué)生應(yīng)對問題的解決能力。隨著海量基因組數(shù)據(jù)的出現(xiàn)，如何利用基因組數(shù)據(jù)分析基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)和代謝途徑是生物信息學(xué)研究人員亟待解決的問題。利用微分方程演化生物網(wǎng)絡(luò)中的復(fù)雜關(guān)系得到了廣泛的應(yīng)用。針對微分方程在基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用，讓學(xué)生體會將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，建立模型求解方程，解釋實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題、提高算法分析與設(shè)計(jì)的能力。其次，積極鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模競賽活動，在活動中讓學(xué)生體會運(yùn)用理論知識解決實(shí)際問題的樂趣。
4.靈活的評價(jià)機(jī)制
傳統(tǒng)的考核辦法采取單一的筆試成績，但這往往不能評價(jià)學(xué)生的綜合素質(zhì)以及知識的掌握程度。在考核內(nèi)容上主要突出三點(diǎn)內(nèi)容：（一）對基本概念的掌握程度；（二）分析問題與解決問題的綜合實(shí)力；（三）考查學(xué)生對微分方程求解方法和技巧的掌握。
對于生物信息學(xué)專業(yè)的學(xué)生，要求有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)功底解決生物學(xué)問題。因此既要有扎實(shí)的理論基礎(chǔ)，又要求具有分析和解決實(shí)際生物學(xué)問題的能力。面對微分方程這門課程，既要重視數(shù)學(xué)理論的教學(xué)，又要注重對學(xué)生解決生物學(xué)實(shí)際問題的引導(dǎo)，結(jié)合本專業(yè)的特點(diǎn)及培養(yǎng)目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。
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作者簡介：
王芳（1982- ），吉林人，哈爾濱醫(yī)科大學(xué)生物信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，講師，主要研究方向：生物信息學(xué)，計(jì)算表觀遺傳學(xué)。
